1. Dziedzina funkcji:
Pierwszym krokiem jest określenie dziedziny funkcji, czyli zbioru wszystkich wartości argumentu x, dla których funkcja jest zdefiniowana.
2. Miejsca zerowe:
Miejsca zerowe funkcji to wartości x, dla których f(x) = 0. Znalezienie miejsc zerowych pozwala zrozumieć, gdzie funkcja przecina oś x.
3. Monotoniczność:
Monotoniczność funkcji opisuje, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, stała lub niemonotoniczna na danym przedziale.
- Funkcja rosnąca: f(x1) < f(x2) dla x1 < x2
- Funkcja malejąca: f(x1) > f(x2) dla x1 < x2
- Funkcja stała: dla dowolnych 𝑥1 i 𝑥2
4. Ekstremalne wartości:
Ekstremalne wartości funkcji to maksima i minima (lokalne i globalne). Lokalne maksimum to punkt, w którym funkcja osiąga największą wartość w porównaniu z sąsiednimi punktami, a lokalne minimum to punkt, w którym funkcja osiąga najmniejszą wartość w porównaniu z sąsiednimi punktami.
5. Pochodna funkcji:
Pochodna funkcji 𝑓′(𝑥) dostarcza informacji o tempie zmian funkcji. Jeśli pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie; jeśli jest ujemna, funkcja maleje.
- Pierwsza pochodna: Używana do badania monotoniczności i znajdowania ekstremów.
- Druga pochodna: Używana do badania wypukłości i wklęsłości oraz punktów przegięcia.
6. Asymptoty:
Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie osiąga.
- Asymptoty pionowe: Pojawiają się, gdy funkcja dąży do nieskończoności przy pewnej wartości 𝑥.
- Asymptoty poziome: Pojawiają się, gdy funkcja dąży do pewnej wartości 𝑦 przy 𝑥 dążącym do nieskończoności.
- Asymptoty ukośne: Pojawiają się, gdy funkcja ma linię ukośną jako asymptotę, gdy 𝑥 dąży do nieskończoności.
7. Wykres funkcji:
Sporządzenie wykresu funkcji pomaga wizualizować jej zachowanie na różnych przedziałach, co jest użyteczne do identyfikacji trendów i punktów charakterystycznych.
Przykład badania zmienności funkcji:
Dla funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥)=𝑥²−4𝑥+3
- Dziedzina: Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich 𝑥∈𝑅
- Miejsca zerowe: Rozwiązujemy równanie 𝑥²−4𝑥+3=0 i znajdujemy 𝑥=1 i 𝑥=3
- Monotoniczność: Obliczamy pochodną 𝑓′(𝑥)=2𝑥−4. Funkcja jest malejąca dla 𝑥<2 i rosnąca dla 𝑥>2.
- Ekstremalne wartości: Lokalnym minimum jest 𝑥=2 (znalezione poprzez ustawienie pochodnej równej zeru), z wartością 𝑓(2)=−1
- Wykres funkcji: Wykres funkcji jest parabolą, otwartą do góry, przecinającą oś 𝑥 w punktach 𝑥=1 i 𝑥=3