Funkcje trygonometryczne są podstawowymi narzędziami w matematyce, które opisują zależności kątów i długości boków trójkątów prostokątnych. Są one również szeroko stosowane w analizie fal, oscylacji i różnych innych dziedzinach nauki i techniki. Poniżej przedstawiam najważniejsze funkcje trygonometryczne:
1. Sinus (sin)
Funkcja sinus kąta α definiowana jest jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.
sin α = przyprostokątna przeciwległa/ przeciwprostokątna
2. Cosinus (cos)
Funkcja cosinus kąta α definiowana jest jako stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.
cos α = przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna
3. Tangens (tan)
Funkcja tangens kąta α definiowana jest jako stosunek sinusa do cosinusa kąta α, czyli stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej.
tan α = sin α / cos α = przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa
4. Cotangens (cot)
Funkcja cotangens kąta α jest odwrotnością tangensa.
cot α = 1 / tan α = cos α / sin α
5. Sekans (sec)
Funkcja sekans kąta α jest odwrotnością cosinusa.
sec α = 1/ cos α
6. Cosekans (csc)
Funkcja cosekans kąta α jest odwrotnością sinusa.
csc α = 1/ sin α
Właściwości funkcji trygonometrycznych
Okresowość
Funkcje trygonometryczne są okresowe. Na przykład, sinus i cosinus mają okres 2 π, a tang i cot π co oznacza, że sin α + 2 π = sin α i cos α + 2 π = cos α
Symetrie
sin (-α) = -sin (α) (funkcja nieparzysta)
cos(-α) = cos( α) (funkcja parzysta)
tan(-α) = -tan(α) (funkcja nieparzysta)
Funkcje trygonometryczne mają wiele ważnych własności i tożsamości, które ułatwiają ich zastosowanie w rozwiązywaniu równań i problemów geometrycznych. Do najważniejszych tożsamości trygonometrycznych należą:
– Tożsamość Pitagorejska
sin² α + cos² α = 1
Tożsamości sumy i różnicy kątów
sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos (a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b
tan (a ± b) = tan a ± tan b /1 ± tan a tan b
Podwojonego kąta
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos² a – sin² a)
tan 2a = 2tan a/1 – tan² a
Wykresy funkcji sinus i cosinus są fundamentalnymi narzędziami w analizie matematycznej i mają wiele praktycznych zastosowań. Oto omówienie kluczowych właściwości tych wykresów:
Wykres funkcji sinus
1. Definicja: y = sin(x)
2. Okres: 2 π (czyli funkcja powtarza się co 2 π )
3.Amplituda: 1 (maksymalna wartość to 1, minimalna wartość to -1)
4. Przebieg: Funkcja jest nieparzysta (symetryczna względem początku układu współrzędnych), sin(-x) = -sin(x)
5. Punkty szczególne:
sin(0) = 0
sin π/2 = 1
sin π = 0
sin 3π/2 = -1
sin 2π = 0
Wykres funkcji cosinus
1. Definicja: y = cos(x)
2. Okres: 2 π (czyli funkcja powtarza się co 2 π )
3. Amplituda: 1 (maksymalna wartość to 1, minimalna wartość to -1)
4. Przebieg: Funkcja jest parzysta (symetryczna względem osi pionowej), cos(-x) = cos(x)
5. Punkty szczególne:
cos (0) = 1
cos ( π/2) = 0
cos ( π) = -1
cos (3 π/2) = 0
cos (2 π ) = 1
Porównanie wykresów
Funkcje sinus i cosinus są przesunięte względem siebie o ( π/2) (90 stopni). Sinus osiąga maksimum w ( x = π/2 ), podczas gdy cosinus osiąga maksimum w ( x = 0 ).
Symetria: Jak wspomniano, sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus jest funkcją parzystą.
Przebieg: Obie funkcje oscylują między -1 a 1, ale mają różne punkty, w których przecinają oś X.