Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugiego stopnia w jednej zmiennej, które można zapisać w ogólnej postaci:

 ax² + bx + c = 0

gdzie:
– ( a, b) i ( c) są współczynnikami (liczby rzeczywiste lub zespolone),
– ( x ) jest zmienną,
– ( a ≠ 0 ) (jeśli a =0,  równanie staje się liniowe).

1. Postać ogólna równania kwadratowego
 ax² + bx + c = 0

2. Rozwiązania równania kwadratowego

Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego można znaleźć stosując różne metody:

Metoda wyznaczania pierwiastków z wykorzystaniem delty (metoda kwadratowa). 
Pierwiastki równania kwadratowego można wyznaczyć za pomocą tzw. delty (Delta), która jest określona jako:
Delta = b² – 4ac 

Rozwiązania równania zależą od wartości delty:
– Jeśli ( Delta > 0 ), równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:

x1=−b−√Δ/2a

x2=−b+√Δ/2a
– Jeśli ( Delta = 0 ), równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty (pierwiastek podwójny):
 x1 = x2 = -b /2a
– Jeśli ( Delta < 0 ), równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków

 Metoda rozkładu na czynniki
Jeżeli równanie kwadratowe da się łatwo rozłożyć na czynniki, można skorzystać z tej metody. Przykład:
 x² – 5x + 6 = 0 
Można rozłożyć na czynniki:
 (x – 2)(x – 3) = 0 
Rozwiązania to ( x = 2 ) i ( x = 3 ).

Metoda podstawienia
Jeżeli równanie kwadratowe ma postać prostą, można użyć podstawienia. Przykład:
 x² = 9 
 x = √9
 x = 3  lub  x = -3 

3. Postać kanoniczna i wierzchołek paraboli
Równanie kwadratowe można przekształcić do postaci kanonicznej:
 a(x – p)² + q = 0 
gdzie:
–  p  to współrzędna x wierzchołka paraboli,
–  q  to współrzędna y wierzchołka paraboli.

Współrzędne wierzchołka (p, q)  można znaleźć za pomocą wzorów:
 p = -b/2a
q = – Δ/4a]

4. Własności paraboli

Równanie kwadratowe opisuje parabolę, której:
– Kierunek otwarcia zależy od znaku współczynnika ( a ):
– Jeśli ( a > 0 ), parabola otwiera się w górę.
– Jeśli ( a < 0 ), parabola otwiera się w dół.
– Wierzchołek paraboli jest punktem maksymalnym, jeśli ( a < 0 ), lub minimalnym, jeśli ( a > 0 ).
– Oś symetrii paraboli to linia pionowa przechodząca przez wierzchołek: ( x = -b/2a

 5. Przykłady zastosowań

Równania kwadratowe znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:
– Fizyka (ruch jednostajnie przyspieszony),
– Ekonomia (obliczanie optymalnych punktów),
– Inżynieria (analiza strukturalna),
– Geometria (rozwiązywanie problemów z figurami płaskimi).

6. Metoda podstawiania do tabelki (wykresy)

Aby narysować wykres równania kwadratowego, można utworzyć tabelkę wartości ( x ) i odpowiadających im wartości ( y = ax² + bx + c ).

 7. Praktyczne podejście

W praktyce, aby rozwiązać równanie kwadratowe, często korzysta się z kalkulatorów naukowych lub oprogramowania komputerowego, które automatycznie obliczają pierwiastki równania.