Funkcje trygonometryczne są podstawowymi narzędziami w matematyce, które opisują zależności kątów i długości boków trójkątów prostokątnych. Są one również szeroko stosowane w analizie fal, oscylacji i różnych innych dziedzinach nauki i techniki. Poniżej przedstawiam najważniejsze funkcje trygonometryczne:

1. Sinus (sin)

Funkcja sinus kąta α definiowana jest jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

sin α = przyprostokątna przeciwległa/ przeciwprostokątna

2. Cosinus (cos)

Funkcja cosinus kąta α definiowana jest jako stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.

cos α = przyprostokątna przyległa/przeciwprostokątna

3. Tangens (tan)

Funkcja tangens kąta α definiowana jest jako stosunek sinusa do cosinusa kąta α, czyli stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej.

tan α =  sin α / cos α = przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa

4. Cotangens (cot)

Funkcja cotangens kąta α  jest odwrotnością tangensa.

cot α  = 1 / tan α = cos α / sin α

5. Sekans (sec)

Funkcja sekans kąta α  jest odwrotnością cosinusa.

sec α  = 1/ cos α

6. Cosekans (csc)
Funkcja cosekans kąta α  jest odwrotnością sinusa.

csc α = 1/ sin α

Właściwości funkcji trygonometrycznych

Okresowość

Funkcje trygonometryczne są okresowe. Na przykład, sinus i cosinus mają okres 2 π, a tang i cot π co oznacza, że sin α + 2 π = sin α  i  cos α + 2 π = cos α

Symetrie
sin (-α) = -sin (α) (funkcja nieparzysta)
cos(-α) = cos( α) (funkcja parzysta)
tan(-α) = -tan(α) (funkcja nieparzysta)

Funkcje trygonometryczne mają wiele ważnych własności i tożsamości, które ułatwiają ich zastosowanie w rozwiązywaniu równań i problemów geometrycznych. Do najważniejszych tożsamości trygonometrycznych należą:

– Tożsamość Pitagorejska
sin² α + cos² α = 1 

Tożsamości sumy i różnicy kątów
sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b 
cos (a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b
tan (a ± b) = tan a ± tan b  /1 ± tan a tan b

Podwojonego kąta
sin 2a = 2 sin a cos a 
cos 2a = cos² a – sin² a)
tan 2a = 2tan a/1 – tan² a

Wykresy funkcji sinus i cosinus są fundamentalnymi narzędziami w analizie matematycznej i mają wiele praktycznych zastosowań. Oto omówienie kluczowych właściwości tych wykresów:

Wykres funkcji sinus

1. Definicja:  y = sin(x)
2. Okres: 2 π  (czyli funkcja powtarza się co 2 π )
3.Amplituda: 1 (maksymalna wartość to 1, minimalna wartość to -1)
4. Przebieg: Funkcja jest nieparzysta (symetryczna względem początku układu współrzędnych), sin(-x) = -sin(x) 
5. Punkty szczególne:
sin(0) = 0 
sin π/2  = 1 
sin  π = 0
sin 3π/2 = -1 
sin 2π  = 0 

Wykres funkcji cosinus

1. Definicja: y = cos(x)
2. Okres: 2 π  (czyli funkcja powtarza się co 2 π )
3. Amplituda: 1 (maksymalna wartość to 1, minimalna wartość to -1)
4. Przebieg: Funkcja jest parzysta (symetryczna względem osi pionowej), cos(-x) = cos(x) 
5. Punkty szczególne:
cos (0) = 1 
cos ( π/2) = 0 
cos ( π) = -1 
cos (3 π/2) = 0
cos (2 π ) = 1 

Porównanie wykresów

Funkcje sinus i cosinus są przesunięte względem siebie o ( π/2) (90 stopni). Sinus osiąga maksimum w ( x = π/2 ), podczas gdy cosinus osiąga maksimum w ( x = 0 ).
 Symetria: Jak wspomniano, sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus jest funkcją parzystą.
Przebieg: Obie funkcje oscylują między -1 a 1, ale mają różne punkty, w których przecinają oś X.