Czym jest geometria?
Geometria to dział matematyki, zajmujący się badaniem figur geometrycznych oraz związków, jakie między nimi zachodzą. Geometria to jedna z najstarszych dziedzin matematyki. Jej korzenie sięgają starożytności. Przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jak algebra, analiza, teoria grafów czy topologia. W geometrii bada się kształty, rozmiary, wzajemne położenia i właściwości figur przestrzennych.
TEGO NIE MUSISZ WIEDZIEĆ, ALE POLECAMY TO PRZECZYTAĆ
Geometria euklidesowa:
Jest to najstarszy dział geometrii, który bada tak zwaną trójwymiarową przestrzeń Euklidesa. W tej geometrii spełnione są wszystkie aksjomaty Euklidesa, takie jak równoległość prostych, współliniowość punktów, odległość czy miara kąta. Geometria euklidesowa jest zdefiniowana za pomocą aksjomatów, które określają pojęcia takie jak przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna, relacje położenia punktu między dwoma innymi punktami oraz relacje przystawania pary punktów do innej pary punktów.
Geometria nieeuklidesowa:
Odrzuca piąty aksjomat Euklidesa, który mówi o tym, że przez każdy punkt przechodzi co najwyżej jedna prosta równoległa do danej prostej. W wyniku tego powstały różne geometrie, takie jak geometria hiperboliczna (np. model Poincarégo) czy geometria eliptyczna (np. geometria sferyczna).
Geometria analityczna: Badanie figur geometrycznych za pomocą metod analitycznych i algebraicznych. Wykorzystuje układy równań, które opisują badane figury. Za twórcę geometrii analitycznej uważa się Kartezjusza.
Geometria wykreślna: Zajmuje się jednoznacznym odwzorowaniem figur przestrzennych na płaszczyźnie. Proces ten oraz jego efekty nazywa się rzutowaniem. Powstała dzięki pracom francuskiego matematyka Gasparda Monge’a.
Geometria algebraiczna: Badanie zbiorów opisywanych za pomocą funkcji wielomianowych.
Euklides ojciec geometrii
Oto kilka kluczowych informacji o Euklidesie:
Elementy: To trzynastotomowy podręcznik geometrii, który zawierał wiele odkryć innych starożytnych matematyków, takich jak Pitagoras, Tales czy Eudoksos. Euklides uzupełnił te wyniki i dostarczył niezbitych dowodów twierdzeń, które wcześniej nie były ściśle uzasadnione przez jego poprzedników.
Inne dzieła: Poza Elementami, Euklides zajmował się również optyką, sformułował zasadę załamania się światła na różnych powierzchniach.
Euklides zdefiniował pięć aksjomatów lub pewników płaszczyzny, które stanowią podstawę tej geometrii:
- Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
- Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, uzyskując prostą.
- Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.
- Wszystkie kąty proste są przystające (czyli mają miarę 90 stopni).
- Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.
Piąty aksjomat, nazywany również postulatem równoległości, jest istotny dla geometrii euklidesowej. Można go sformułować również jako: “przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą”. To właśnie piąty postulat wywoływał wiele wątpliwości i przez wieki matematycy próbowali go dowieść na podstawie pierwszych czterech aksjomatów. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że jest on niezależny od pozostałych, co otworzyło drogę do geometrii nieeuklidesowych